https://www.ashurbanipal.cc/posts/Recent content in Posts on 思想杂货铺Hugozh-cnWed, 06 May 2026 09:42:37 +0800https://www.ashurbanipal.cc/posts/%E4%B8%80%E7%82%B9%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F/Wed, 06 May 2026 09:42:37 +0800https://www.ashurbanipal.cc/posts/%E4%B8%80%E7%82%B9%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F/<h1 id="一点数学公式">一点数学公式</h1> <h1 id="二阶常系数微分方程的解">二阶常系数微分方程的解</h1> <h2 id="特征值与特征方程">特征值与特征方程</h2> <p>对于$y''+py'+qy=0$，可以把它写为矩阵相乘的形式</p> $$ \begin{pmatrix}y’’\\y’\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-p &-q \\1 &0 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y’\\y\\\end{pmatrix} $$$$ \begin{split} &\begin{vmatrix}\lambda E - A\end{vmatrix}=0\\ &\begin{vmatrix} \lambda+p &q\\ -1 &\lambda\\ \end{vmatrix}=\lambda^2+\lambda p +q=0 \end{split} $$<p>此时得到该二阶常系数齐次微分方程的特征方程$\lambda^2+\lambda p +q=0$，可以解得特征值$\lambda$。</p> <h2 id="二阶常系数齐次微分方的通解">二阶常系数齐次微分方的通解</h2> <p>对于二阶齐次微分方程，其通解可以表示为两个<strong>线性无关</strong>的<strong>特解</strong>的线性组合</p> $$ y=C_1y^*_1+C_2y^*_2 $$<h1 id="高阶因式分解">高阶因式分解</h1> <h2 id="原理">原理</h2> <p>假设存在一个高阶多项式$f(x)=k_nx^n+k_{n-1}x^{n-1}+\cdots+k_1x+k_0$，该多项式可以完全拆分为n项$(a_ix+b_i)$相乘。 \begin{equation} \label{eq1} f(x)=\prod^{n}_{i=1}(a_ix+b_i)\in \end{equation} 则展开后可以得到：</p> $$ f(x)=\prod_{i=1}^{n}a_i \cdot x^n+b_1\cdot\prod_{i=2}^{n}a_i \cdot x^{n-1}+\cdots+a_1\cdot \prod_{i=2}^{n}b_i\cdot x+\prod_{i=1}^{n}b_i $$<p>不难发现，在展开后的多项拥有$n+1$项，其中最高项的系数$\prod_{i=1}^{n}a_i$和最低项的系数$\prod_{i=1}^{n}b_i$分别为式$(1)$中$x$系数$a_i$的累乘以及常数项$b_i$的累乘。</p>