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一点数学公式 二阶常系数微分方程的解 特征值与特征方程 对于$y''+py'+qy=0$，可以把它写为矩阵相乘的形式 $$ \begin{pmatrix}y’’\\y’\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-p &-q \\1 &0 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y’\\y\\\end{pmatrix} $$$$ \begin{split} &\begin{vmatrix}\lambda E - A\end{vmatrix}=0\\ &\begin{vmatrix} \lambda+p &q\\ -1 &\lambda\\ \end{vmatrix}=\lambda^2+\lambda p +q=0 \end{split} $$此时得到该二阶常系数齐次微分方程的特征方程$\lambda^2+\lambda p +q=0$，可以解得特征值$\lambda$。 二阶常系数齐次微分方的通解 对于二阶齐次微分方程，其通解可以表示为两个线性无关的特解的线性组合 $$ y=C_1y^*_1+C_2y^*_2 $$高阶因式分解 原理 假设存在一个高阶多项式$f(x)=k_nx^n+k_{n-1}x^{n-1}+\cdots+k_1x+k_0$，该多项式可以完全拆分为n项$(a_ix+b_i)$相乘。 \begin{equation} \label{eq1} f(x)=\prod^{n}_{i=1}(a_ix+b_i)\in \end{equation} 则展开后可以得到： $$ f(x)=\prod_{i=1}^{n}a_i \cdot x^n+b_1\cdot\prod_{i=2}^{n}a_i \cdot x^{n-1}+\cdots+a_1\cdot \prod_{i=2}^{n}b_i\cdot x+\prod_{i=1}^{n}b_i $$不难发现，在展开后的多项拥有$n+1$项，其中最高项的系数$\prod_{i=1}^{n}a_i$和最低项的系数$\prod_{i=1}^{n}b_i$分别为式$(1)$中$x$系数$a_i$的累乘以及常数项$b_i$的累乘。